Solutions to Chapter 14 Truth table shortcuts

A. Using shortcuts, determine whether each sentence is a tautology, a contradiction, or neither.

1. 1.
   ​

   $\neg B\wedge B$ Contradiction

   $B$	$\neg$	$B$	$\wedge$	$B$
   T	F		F
   F			F

2. 2.
   ​

   $\neg D\vee D$ Tautology

   $D$	$\neg$	$D$	$\vee$	$D$
   T			T
   F	T		T

3. 3.
   ​

   $(A\wedge B)\vee (B\wedge A)$ Neither

   $A$	$B$	$(A$	$\wedge$	$B)$	$\vee$	$(B$	$\wedge$	$A)$
   T	T		T		T
   T	F		F		F		F
   F	T		F		F		F
   F	F		F		F		F

4. 4.
   ​

   $\neg [A\to (B\to A)]$ Contradiction

   $A$	$B$	$\neg [$	$A$	$\to$	$(B$	$\to$	$A)]$
   T	T	F		T		T
   T	F	F		T		T
   F	T	F		T
   F	F	F		T

5. 5.
   ​

   $A\leftrightarrow [A\to (B\wedge \neg B)]$ Contradiction

   $A$	$B$	$A$	$\leftrightarrow$	$[A$	$\to$	$(B$	$\wedge$	$\neg$	$B)]$
   T	T		F		F		F	F
   T	F		F		F		F
   F	T		F		T
   F	F		F		T

6. 6.
   ​

   $\neg (A\wedge B)\leftrightarrow A$ Neither

   $A$	$B$	$\neg$	$(A$	$\wedge$	$B)$	$\leftrightarrow$	$A$
   T	T	F		T		F
   T	F	T		F		T
   F	T	T		F		F
   F	F	T		F		F

7. 7.
   ​

   $A\to (B\vee C)$ Neither

   $A$	$B$	$C$	$A$	$\to$	$(B$	$\vee$	$C)$
   T	T	T		T		T
   T	T	F		T		T
   T	F	T		T		T
   T	F	F		F		F
   F	T	T		T
   F	T	F		T
   F	F	T		T
   F	F	F		T

8. 8.
   ​

   $(A\wedge \neg A)\to (B\vee C)$ Tautology

   $A$	$B$	$C$	$(A$	$\wedge$	$\neg$	$A)$	$\to$	$(B$	$\vee$	$C)$
   T	T	T		F	F		T
   T	T	F		F	F		T
   T	F	T		F	F		T
   T	F	F		F	F		T
   F	T	T		F			T
   F	T	F		F			T
   F	F	T		F			T
   F	F	F		F			T

9. 9.
   ​

   $(B\wedge D)\leftrightarrow [A\leftrightarrow (A\vee C)]$ Neither

   $A$

   $B$

   $C$

   $D$

   $(B$

   $\wedge$

   $D)$

   $\leftrightarrow$

   $[A$

   $\leftrightarrow$

   $(A$

   $\vee$

   $C)]$

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   F

   F

   F

   T

   T

   T

   T

   F

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   T

   F

   F

   F

   F

   T

   T

   T

   F

   T

   T

   F

   F

   T

   T

   T

   F

   T

   F

   F

   F

   T

   T

   T

   F

   F

   T

   F

   F

   T

   T

   T

   F

   F

   F

   F

   F

   T

   T

   F

   T

   T

   T

   T

   F

   F

   T

   F

   T

   T

   F

   F

   T

   F

   T

   F

   T

   F

   T

   T

   T

   T

   F

   F

   T

   F

   F

   F

   F

   T

   F

   F

   F

   T

   T

   F

   T

   F

   T

   F

   F

   T

   F

   F

   T

   F

   T

   F

   F

   F

   T

   F

   F

   T

   F

   F

   F

   F

   F

   F

   F

   T

   F